1.000 de bile cad printre cuie, la întâmplare. Câte ajung la mijloc?

O tablă cu 12 rânduri de cuie și 13 coșuri jos.

Ghicești ce parte din bile ajung în cele 3 coșuri din mijloc.
Dai drumul la 1.000 de bile.
Fiecare bilă sare stânga sau dreapta, cu aceeași șansă.

Tabla Galton

Bile: 0din 1.000
În mijloc: 0%
Ai zis: 30%

Unde cad bilele?

1.000 de bile cad prin 12 rânduri de cuie. La fiecare cui, o bilă sare la stânga sau la dreapta, 50–50. Cât la sută ajung în cele 3 coșuri din mijloc?

În cele 3 coșuri din mijloc30%

Cum funcționează matematica?Joacă întâi. Apoi deschide explicația.

Coșul depinde doar de câte ori sari la dreapta

O bilă trece prin 12 rânduri și la fiecare alege stânga sau dreapta. Coșul în care ajunge e dat doar de câte dreapta a avut, nu de ordinea lor. 0 dreapta: marginea din stânga. 12 dreapta: marginea din dreapta. 6 dreapta: mijlocul.

Sunt $2^{12}$ = 4.096 de drumuri posibile, toate la fel de probabile. Câte duc în coșul $k$ ? Atâtea câte moduri sunt să alegi care $k$ din cele 12 sărituri sunt la dreapta:

P (co ș ul k) = \frac{( k 12 )}{2 ^{12}}

Câte drumuri duc în fiecare coș

coșul din mijloc (6 dreapta): 92422,6%
vecinii lui (5 sau 7): 792 fiecare19,3%
la margine (0 sau 12): 1 fiecare0,024%

(792 + 924 + 792) / 4.096

În cele 3 coșuri din mijloc: 61,2%

În cele două coșuri de la margine ajunge doar 0,05% din bile: cam una la 2.000.

Clopotul

Distribuția asta se numește binomială. Când numărul de rânduri crește, forma ei se apropie tot mai mult de curba lui Gauss, distribuția normală: linia trasă peste coșuri la final.

Asta e una dintre cele mai importante idei din statistică (teorema limită centrală): când un rezultat e suma multor mici întâmplări independente, iese aproape mereu un clopot. Înălțimea oamenilor, erorile de măsurare, notele la un test mare arată la fel, pentru că fiecare e suma a mulți factori mărunți.

Haos mic, ordine mare

Nu poți spune unde ajunge o bilă. Dar poți spune foarte precis cum arată o mie. De aceea companiile de asigurări nu știu cine va avea accident anul ăsta, dar știu destul de exact câți.