Câte pachete de stickere trebuie să cumperi ca să umpli albumul?

Ai un album cu 600 de stickere. Le cumperi în pachete de câte 5, fără schimburi.

Ghicești câte pachete îți trebuie.
Deschizi pachete, stickerele vin la întâmplare.
Te oprești când albumul e plin.

Albumul tău

Lipite: 0din 600
Pachete: 0
Dubluri: 0

Câte pachete?

Un album are 600 de stickere. Într-un pachet sunt 5, la întâmplare. Câte pachete crezi că îți trebuie ca să-l umpli?

Ghicitul tău300 de pachete

≈ 1.500 de lei la 5 lei pachetul

Cum funcționează matematica?Joacă întâi. Apoi deschide explicația.

La început merge repede

Primul sticker e sigur nou. Al doilea aproape sigur. Până la jumătatea albumului, aproape tot ce deschizi e nou: îți trebuie doar vreo 416 de stickere pentru primele 300.

Apoi se blochează

Când îți lipsesc $k$ stickere din $N$ , un sticker nou are șansa $k / N$ să fie unul de care ai nevoie. Deci în medie aștepți $N / k$ stickere pentru următorul nou.

Când îți lipsește unul singur, șansa e 1 din 600: aștepți în medie 600 de stickere doar pentru el.

Totalul

Adunăm așteptările pentru fiecare sticker, de la primul la ultimul:

\frac{N}{N} + \frac{N}{N - 1} + \dots + \frac{N}{1} = N \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{N}) = N \cdot H_{N}

Suma din paranteză, $H_{N}$ , se numește număr armonic și crește încet, cam ca $ln N$ . Pentru $N = A L B U M_{S} I Z E$ e 6,97.

600 · 6,97 ≈ 4.185 de stickere

În medie: 837 de pachete (≈ 4.185 de lei)

Album de 600, câte 5 în pachet

stickere cumpărate, în medie: 4.185
doar pentru ultimele 10: 1.757
doar pentru ultimul: 600

În medie, 42% din bani se duc pe ultimele 10 stickere. De asta există dubluri cu sutele și de asta editorii vând și stickere la bucată.

Schimburile chiar ajută

Dacă 5 prieteni fac colecția împreună și își dau dublurile între ei, fiecare are nevoie în medie de cam 269 de pachete în loc de 837. Dublurile tale sunt exact ce le lipsește lor.