Poți ghici „mai mare sau mai mic” de 10 ori la rând?

O singură ghicire

Dacă numărul curent e $x$, sunt $100-x$ numere mai mari și $x-1$ mai mici. Strategia bună e simplă: alegi partea mai mare. De la 50 zici „mai mare”, de la 80 zici „mai mic”.

$$P(\text{corect}\mid x)=\frac{\max (100-x,x-1)}{100}$$

Făcând media peste toate numerele de la 1 la 100, o ghicire bună iese corectă în 74,5% din cazuri. Sună bine.

Zece la rând: capcana

Prima idee: înmulțim de 10 ori, $0,745^{10}$, și obținem 5,3% (o dată din 19). Dar e greșit.

Ghicirile nu sunt independente. Când ghicești corect „mai mic” de la 80, următorul număr e undeva între 1 și 79, adesea pe la mijloc. Iar de la mijloc e cel mai greu să ghicești: 50 îți dă doar 50%. O ghicire reușită te împinge, des, într-o poziție mai proastă.

Calculul corect

Numim $W_k(x)$ șansa să mai ghicești $k$ la rând, pornind de la $x$. Dacă zici „mai mic”, următorul număr $y$ trebuie să fie sub $x$, iar de acolo îți mai trebuie $k-1$:

$$W_k(x)=\max \left(\frac{1}{100}\sum _{y<x}{W}_{k-1}(y),\frac{1}{100}\sum _{y>x}{W}_{k-1}(y)\right),W_0=1$$

Calculăm tabelul pas cu pas (calculatorul o face instant) și facem media pe numărul de start. Rezultatul, jucând perfect: 3,7%.

Adică o dată din 27 de încercări, nu din 19. Când evenimentele sunt legate între ele, nu le mai poți înmulți pur și simplu.

Cât durează?

Fiecare încercare e un nou început, cu un număr nou. Dacă reușești cu șansa $p$ la fiecare încercare, în medie îți trebuie $1/p$ încercări: aici cam 27. Unii reușesc din prima, alții după 80. Asta e varianța.