Testul a ieșit pozitiv. Care e șansa să fii chiar bolnav?

Gândește în oameni, nu în procente

Procentele ne încurcă. Oamenii, nu. Așa că luăm 10.000 de oameni și urmărim ce se întâmplă cu ei.

1. Boala afectează 1 din 1.000. Deci 10 oameni sunt bolnavi și 9.990 sunt sănătoși.
2. Testul prinde 99% dintre bolnavi. Din cei 10, iese pozitiv la aproape toți 10.
3. Testul greșește la 1% dintre sănătoși. Dar 1% din 9.990 înseamnă aproape 100 de oameni sănătoși cu test pozitiv.

Acum numără: sunt cam 110 teste pozitive. Doar 10 dintre ele aparțin unor oameni bolnavi.

$$\frac{10}{110}\approx 9\%$$

Asta e tot. Ai ieșit pozitiv, dar cel mai probabil faci parte din cei 100, nu din cei 10.

Unde e capcana?

„99% acuratețe” răspunde la o întrebare: dacă ești bolnav, cât de des te prinde testul?

Tu ai pus întrebarea inversă: dacă testul te-a prins, cât de probabil e să fii bolnav?

Cele două sună la fel, dar nu sunt. Diferența o face cât de rară e boala. Sănătoșii sunt de aproape 1.000 de ori mai mulți decât bolnavii. Chiar și o greșeală rară, de 1%, aplicată unui grup atât de mare, produce mult mai mulți „pozitivi” decât toți bolnavii la un loc.

Matematicienii au un nume pentru informația ignorată: rata de bază (cât de frecvent e ceva în populație). A o uita e o greșeală atât de comună încât are și ea un nume: neglijarea ratei de bază.

De ce nu e un motiv de panică (sau de nepăsare)

De asta un rezultat pozitiv la un test de depistare se confirmă de obicei cu un al doilea test. Hai să vedem de ce funcționează.

După primul test pozitiv, șansa ta nu mai e 1 din 1.000, ci cam 9%. Dacă și un al doilea test, independent, iese pozitiv, refacem calculul pornind de la 9%:

• bolnav și pozitiv: $0,99\times 0,09\approx 0,0891$
• sănătos și pozitiv: $0,01\times 0,91=0,0091$

$$\frac{0,0891}{0,0891+0,0091}\approx 91\%$$

Din 9% ajungi la aproximativ 91%. Al doilea test contează enorm, tocmai pentru că pornește de la o rată de bază mai mare.

Formula, pentru cine o vrea

Ce am făcut mai sus cu oameni se numește teorema lui Bayes. Notăm cu $B$ „ești bolnav”, cu $S$ „ești sănătos” și cu $+$ „testul e pozitiv”.

$$P(B\mid +)=\frac{P(+\mid B)P(B)}{P(+)}$$

Citește bara verticală „știind că”. Sus sunt bolnavii cu test pozitiv. Jos e probabilitatea ca oricine să iasă pozitiv, bolnav sau sănătos:

$$\begin{array}{rl}P(+)=& P(+\mid B)P(B)\\ & +P(+\mid S)P(S)\end{array}$$

Cu numerele noastre:

• $P(B)=0,001$, prevalența (1 din 1.000)
• $P(+\mid B)=0,99$, sensibilitatea: cât de des prinde testul un bolnav
• $P(+\mid S)=0,01$, adică 1 minus specificitatea (0,99): cât de des greșește la un om sănătos
• $P(S)=0,999$

Pe bucăți:

• bolnav și pozitiv: $0,99\times 0,001=0,00099$
• sănătos și pozitiv: $0,01\times 0,999=0,00999$
• adunate: $P(+)=0,01098$

$$P(B\mid +)=\frac{0,00099}{0,01098}\approx 9,02\%$$

Numărătorul sunt bolnavii cu test pozitiv. Numitorul sunt toți cei cu test pozitiv. Exact ca la cei 10 din 110.

Nu doar la medic

Aceeași capcană apare oriunde căutăm ceva rar cu un instrument aproape perfect: camere care recunosc fețe, filtre anti-fraudă la bancă, detectoare de spam. Dacă ce cauți e foarte rar, majoritatea alarmelor vor fi false, chiar și cu un detector excelent.